(FGV - 1976) Dados, num sistema de coordenadas cartesianas, os pontos $\;A=(1,2)\;$, $\;B=(2,-2)\;$ e $\;C=(4,3)\;$, a equação da reta que passa por $\;A\;$ pelo ponto médio do segmento $\;\overline{BC}\;$ é:
(CESCEA - 1972) A equação da reta que passa pelo ponto $\;A\,\equiv \,(2,\,5)\;$ e que corta a reta de equação $\;y\,=\,-x\,+\,1\;$ num ponto $\;B\;$, tal que $\;AB\,=\,3\sqrt{2}\;$, é:
(FGV - 1976) Dados, num sistema de coordenadas cartesianas, os pontos $\;A=(1,\,2)\,$, $\;B=(2,\,-2)\,$ e $\;C=(4,\,3)\,$, a equação da reta que passa por $\;A\;$ pelo ponto médio do segmento $\,\overline{BC}\,$ é:
(CESCEM) O triângulo $\,ABC\,$ tem vértices $\,A\,(0\,;\,0)\,,\;B\,({\large \frac{3}{5}}\,;{\large\frac{3}{5}})\;$ e $\;C\,({\large -\frac{3}{5}};{\large \frac{3}{5}})\;$. A equação da reta que passa por $\;A\;$ e pelo ponto médio de $\,\overline{BC}\;$ é:
Qual a equação geral da reta em que:$\,\left\{\begin{array}{rcr} x\,=\,{\large \frac{t\,+\,1}{2}} \phantom{XXX}& \\ y\,=\,-3t\,-\,2 \phantom{X}& \\ \end{array} \right.\,$
Os vértices de um triângulo são os pontos A (-1 ; 0), B (0 ; 3) e C (2 ; 4) . Determinar os coeficientes angulares e lineares das três retas suportes dos lados.
resposta: $\,m_{AB}\,=\,3\,$ e $\,h_{AB}\,=\,3\,$; $\,m_{BC}\,=\,{\large \frac{1}{2}}\,$ e $\,h_{BC}\,=\,3\,$; $\,m_{AC}\,=\,{\large \frac{4}{3}}\,$ e $\,h_{AC}\,=\,{\large \frac{4}{3}}\,\,$;
(CESCEM) Considere o triângulo $\phantom{X} V_1\;(0\,,\,0),\;V_2\;(a\,,\,a)\;$ e $\;V_3\;(a\,,\,-a) . \phantom{X}$ A equação da reta que passa pelo vértice $\,V_3\,$ e pelo ponto médio do lado $\,V_1V_2\,$ é:
a)
$\,y\,=\,-\,\dfrac{1}{3} \centerdot x \,+\,\dfrac{29}{3}\,$
(SANTA CASA) O gráfico que melhor representa a relação $\phantom{X}|y|\,=\,x\,+\,1\,,\;\vee \negthickspace \negthickspace \negthickspace \negthinspace - x\,,\,y \,\in\, \, \mathbb{R} \phantom{X}$ é:
Determinar a equação reduzida das retas que passam pelos seguintes pares de pontos: a) A (0 ; 3) e B (-1 ; 0) b) C (1 ; -2) e D (-3 ; 4) c) E (3 ; 4) e F (-4 ; -3)
resposta: a) y = 3x + 3 b) $\,y\,=\,-{\large \frac{3}{2}}x - {\large \frac{1}{2}}\,$ c) y = x + 1
(FGV) Dada a reta de equação: $\;\begin{vmatrix} x& y& 1 \\ 3& -2& 1 \\ 1& m& 1\end{vmatrix} \,=\,0\;$, determinar o valor de $\;m\;$, para que ela seja perpendicular a $\;x\,=\,5\;$
Se $\,AB\,\neq\,0\,$, então as retas $\phantom{X}Ay\,+\,Bx\,+\,C\,=\,0 \phantom{X}$ e $\phantom{X}By\,-\,Ax\,+\,D\,=\,0\phantom{X}$ são perpendiculares.
( II )
$Ax\,+\,2y\,+\,7\,=\,0 \phantom{X}$ é equação de um feixe de retas paralelas.
( III )
Se duas retas $\phantom{X}y\,=\,ax\,+\,b\;$ e $\;y\,=\,cx\,+\,d\phantom{X}$ são concorrentes na origem, então: b = d = 0 .
(CESCEM) Uma reta pela origem de coeficiente angular negativo tem somente 3 pontos em comum com o gráfico da função $\phantom{X} y\,=\,\operatorname{sen}x\phantom{X}$. A menor das 3 correspondentes abscissas:
(ITA - 1990) Considere a região do plano cartesiano x0y definida pelas desigualdades $\,x\,-\,y\,\leqslant\,1\;\mbox{, }\; x\,+\,y\,\geqslant\,1\;$ e $\;(x\,-\,1)^2\,+\,y^2\,\leqslant\,2\,$. O volume do sólido gerado pela rotação desta região em torno do eixo $\,x\,$ é igual a:
(ITA - 1990) Sejam as retas $\,r\,$ e $\,s\,$ dadas respectivamente pelas equações $\phantom{X}3x\,-\,4y\,+\,12\,=\,0\phantom{X}$ e $\phantom{X}3x\,-\,4y\,+\,4\,=\,0\phantom{X}$. Considere $\,{\large \ell}\,$ o lugar geométrico dos centros das circunferências que tangenciam simultaneamente $\,r\,$ e $\,s\,$. Uma equação que descreve $\,{\large \ell}\,$ é dada por:
(ITA - 1990) Considere a reta $\,r\,$ mediatriz do segmento cujos extremos são os pontos em que a reta $\,2x\,-3y\,+7\,=\,0\,$ intercepta os eixos coordenados. Então a distancia do ponto $\,\left(\,\dfrac{1}{4},\,\dfrac{1}{6}\right)\,$ à reta $\,r\,$ é:
(MAPOFEI - 1970) Pelo ponto $\,P\,$ de coordenadas cartesianas ortogonais $\,(\operatorname{cos}\beta\,$; $\,\operatorname{sen}\alpha)\phantom{X}$, com $\,(0\,\leqslant\,\alpha\,<\,\beta\,\leqslant\,\dfrac{\pi}{2})\,$ passam duas retas $\,r\,$ e $\,s\,$ paralelas aos eixos coordenados (ver figura)
a)
Determinar as coordenadas das intersecções de $\,r\,$ e $\,s\,$ com a circunferência $\,x^2\,+\,y^2\,=\,1\,$.
b)
Determinar a equação da reta $\,\overleftrightarrow{PM}\,$, onde $\,M\,$ é o ponto médio do segmento $\,\overline{AB}\,$.
c)
Demonstrar analiticamente que as retas $\,\overleftrightarrow{CD}\,$ e $\,\overleftrightarrow{PM}\,$ são perpendiculares.
resposta: a) $\,A(cos\alpha\,;\,sen\alpha)\,$, $\,B(cos\beta\,;\,sen\beta)\,$ $\,C(-cos\alpha\,;\,sen\alpha)\,$, $\,D(cos\beta\,;\,-sen\beta)\,$ b) $\,cos\dfrac{\alpha\,+\,\beta}{2}\,\centerdot\,x\,-\,sen\dfrac{\alpha\,+\,\beta}{2}\,\centerdot\,y\,-\,cos\dfrac{\beta\,-\,\alpha}{2}\,\centerdot\,cos(\beta\,+\,\alpha)\,=\,0\,$ c) basta provar que o produto dos coeficientes angulares de $\,\overleftrightarrow{CD}\,$ e $\,\overleftrightarrow{PM}\,$ é igual a -1.
(EPUSP - 1951) Dados os pontos $\;A(a;\,0)\;$ e $\;B(0;\,b)\;$, tomemos sobre a reta $\phantom{X}\overleftrightarrow{AB}\phantom{X}$ um ponto $\,C\,$ de modo que $\,\overline{BC}\,=\,m\centerdot\overline{AB}\phantom{X}$ $\;(m\,\in\,\mathbb{R}\,;\,m\,\neq\,0)\;$. Pede-se a equação da reta perpendicular a $\,\overleftrightarrow{AB}\,$, a qual passa pelo ponto médio do segmento $\,\overline{AC}\,$.
(EESC USP - 1969) Encontrar a equação da reta que é perpendicular à reta $\;x\,+\,y\,-3\,=\,0\;$ e forma com os eixos coordenados um triângulo de área 8 unidades de área, de modo que este triângulo tenha intersecção não vazia com a reta $\;x\,-\,2y\,=\,1\,$.
